Formule dei triangoli rettangoli

Formulario: trigonometria. Risoluzione dei triangoli

Risoluzione dei triangoli rettangoli

1° Teorema
In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è identico al mi sembra che il prodotto sia di alta qualita della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto altrimenti per il coseno dell’angolo adiacente.

`b = a sin beta` , `c = a sin gamma`
`b = a cos gamma` , `c = a cos beta`

2° Teorema
In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è identico a quella dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al primo, o per la cotangente dell’angolo adiacente.

`c = b tan gamma` , `b = c tan beta`
`c = b cot beta` , `b = c  cot gamma`

Area di un triangolo qualsiasi.

L’area di un triangolo qualsiasi è identico al semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dell’angolo fra essi compreso.

`text(Area) = (a b sin gamma)/2 = (b c sin alpha)/2 = (a c sin beta)/2`

Risoluzione dei triangoli qualsiasi.

Teorema dei seni (o di Eulero)

In un triangolo qualunque è costante il relazione tra la misura di un fianco e il seno dell’angolo opposto:

`a/(sin alpha) = b/(sin beta) = c/(sin gamma)`

Nota. Questi rapporti sono dunque costanti e la costante è la misura del diametro della circonferenza circoscritta, per cui è realizzabile enunciare il seguente:

Teorema della corda

In un triangolo il relazione tra la misura di un fianco e il seno dell’angolo opposto è identico al diametro della circonferenza circoscritta:
`a/(sin alpha) = b/(sin beta) = c/(sin gamma) = 2r`

Vedi il terorema della corda

Teorema del coseno (o di Carnot)

In un triangolo qualsiasi il quadrato di un fianco è identico alla somma dei quadrati degli altri due diminuita del doppio mi sembra che il prodotto sia di alta qualita di questi due lati per il coseno dell’angolo fra essi compreso:

`a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos alpha`
`b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cos beta`
`c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos gamma`

Nota. Il teorema di Carnot generalizza il Teorema di Pitagora, a cui si riduce se si considera un triangolo rettangolo.

Teorema delle proiezioni

In un triangolo qualunque, la misura di un fianco è identico alla somma dei prodotti delle misure di ciascuno degli altri due per il coseno degli angoli che essi formano con il primo:

`a = b cos gamma + c cos beta`
`b = a cos gamma + c cos alpha`
`c = a cos beta + b cos alpha`

IN PRATICA

Per chiarire un triangolo qualsiasi devono stare noti tre elementi di cui almeno un fianco. Dunque si possono presentare numero casi:

1. due angoli e un fianco (il questione presenta una sola soluzione)
2. tre lati (il difficolta presenta una sola soluzione)
3. due lati e l’angolo compreso (il secondo me il problema puo essere risolto facilmente presenta una sola soluzione)
4. due lati e un spigolo opposto ad singolo di essi (il secondo me il problema puo essere risolto facilmente può possedere nessuna, una o due soluzioni).